Question

【题目】如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．

（1）设 ，求|BC|与|AD|的比值；
（2）若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为C1、C2的离心率相同，

故依题意可设 ．

设直线l：x=t（|t|＜a）分别和C1、C2的方程联立，

求得 ．

当 时， ，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标，

∴ ．

|BC|与|AD|的比值

（2）

解：t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即： ，解得 ．

因为|t|＜a，又0＜e＜1，

所以 ，解得 ．

∴当 时，存在直线l，使得BO∥AN，即离心率e的取值范围是 ，

∴椭圆离心率e的取值范围

【解析】（1）由题意设椭圆方程，联立即可求得A和B坐标，当 时， ，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标， ；（2）分类，当t=0时的l不符合题意，当t≠0时，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，根据斜率公式求得t，由 ，即可椭圆离心率e的取值范围．