Question

为了了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，没得身高频数分布表如下表1、表2．
表1：男生身高频数分布表

身高（cm）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）	[180，185）	[185，190）
频数	2	5	14	13	4	2

表2：女生身高频数分布表

身高（cm）	[150，155）	[155，160）	[160，165）	[165，170）	[170，175）	[175，180）
频数	1	7	12	6	3	1

（Ⅰ）求该校男生的人数并画出其频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该校学生身高（单位：cm）在[165，180）的概率；
（Ⅲ）在男生样本中，从身高（单位：cm）在[180，190）的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm）在[180，185）的人数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）求出样本中男生的人数，除以分层抽样的比例，求出全校的男生人数．
（II）求出样本中身高在[165，180）男生的人数加上女生的人数，除以样本容量求出频率．
（III）写出随机变量可取得值，随机变量ξ服从超几何分布；利用古概型的概率公式求出随机变量取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．

解答：解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+14+13+4+2=40，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400
频率分布直方图如图示
（Ⅱ）由表1、表2可知，样本中身高在[165，180）
的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量
为70，所以样本中学生身高在[165，180）的频率f=

42

70

=

3

5

（Ⅲ）依题意知ξ的可能值为：1，2，3
∵P(ξ=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P(ξ=3)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴ξ的数学期望Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2

点评：本题考查频率等于频数除以样本容量、考查求随机变量的分布列的步骤及求随机变量的期望公式．