Question

（2012•江西模拟）设函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，对于任意正数x，y都有f（x，y）=f（x）+f（y），且f（2）=1．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}满足：f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n∈N^*），其中是S_n是数列{a_n}的前n项和，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=

1

2

，即可求f(

1

2

)的值；
（2）根据f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]，函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数，可得S_n=

1

2

a_n（a_n+1），再写一式，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0
令x=2，y=

1

2

，则f（1）=f（2×

1

2

）=f（2）+f（

1

2

）
∵f（2）=1
∴f(

1

2

)=-1
（2）∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[

1

2

a_n（a_n+1）]
∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数
∴S_n=

1

2

a_n（a_n+1）①
当n=1时，可得a₁=1；
当n≥2时，S_n-1=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）②
①-②可得a_n=

1

2

a_n（a_n+1）-=

1

2

a_n-1（a_n-1+1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0
即a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1；
∴a_n=1+（n-1）×1=n
即a_n=n

点评：本题考查数列与函数的关系，考查赋值法的运用，考查数列的通项，属于中档题．