Question

（2012•盐城一模）如图所示，在棱长为2的正方体AC₁中，点P、Q分别在棱BC、CD上，满足B₁Q⊥D₁P，且PQ=

2

．
（1）试确定P、Q两点的位置．
（2）求二面角C₁-PQ-A大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以

AB

，

AD

，

AA1

为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设CP=a(0≤a≤

2

)，利用

B1Q

•

D1P

=0，得出关于a的方程并求解即可．
（2）分别求出平面C₁PQ、面APQ的一个法向量，利用两向量夹角求二面角C₁-PQ-A大小．

解答：解：（1）以

AB

，

AD

，

AA1

为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz，设CP=a(0≤a≤

2

)，
则CQ=

2-a2

，P(2，2-a，0)，Q(2-

2-a2

，2，0)，B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），

B1Q

=(-

2-a2

，2，-2)，

D1P

=(2，-a，-2)，
∵B₁Q⊥D₁P，
∴

B1Q

•

D1P

=0，
∴-2

2-a2

-2a+4=0，
解得a=1…（4分）
∴PC=1，CQ=1，即P、Q分别为BCCD中点…（5分）
（2）设平面C₁PQ的法向量为

n

=(a，b，c)，
∵

PQ

=(-1，1，0)，

PC1

=(0，1，2)，
又

n

•

PQ

=

n

•

PC1

=0，
∴

-a+b=0 b+2c=0

，
令c=-1，则a=b=2，

n

=(2，2，-1)…（8分）
∵

k

=(0，0，-2)为面APQ的一个法向量，
∴cos＜

n

，

k

＞=

1

3

，而二面角为钝角
故余弦值为-

1

3

…（10分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．