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函数f(x)=ax+ln(2-x)(x<2),设曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线为l.
(1)若直线l与圆(x+1)2+y2=1相切,求a的值;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
分析:(1)先求切线l:y-a=(2a-2)(x-1).即l:(2a-2)x-y+(2-a)=0,再根据直线l与圆(x+1)2+y2=1相切有
|4-3a|
(2a-2)2+1
=1
.从而可求a的值;
(2)分类讨论,令导数小于0,得函数y=f(x)的单调减区间,令导数大于0,得函数y=f(x)的单调增区间.
解答:解:(1)f(x)=ax2+2㏑(2-x).f(1)=a.故点(1,f(1))=(1,a).
求导得:f′(x)=2ax-
2
2-x
,故f′(1)=2a-2.
故切线l:y-a=(2a-2)(x-1).即l:(2a-2)x-y+(2-a)=0.
又由题设知,直线l到(-1,0)的距离为1
即有
|4-3a|
(2a-2)2+1
=1
.解得:a=1或a=
11
5

(2)f′(x)=2ax-
2
2-x
=
ax2-2ax+1
x-2

当a<0 时,由导数小于0得,因为分子二次项的系数为负,
所以可得函数的单调增区间为(-∞,a-
a2-1
),(a+
a2-1
,2)

由导数大于0得减区间(a-
a2-1
,a+
a2-1
),(2,+∞)

当0≤a≤1时,当x<2时,f′(x)<0恒成立,所以函数的单调减区间为 (-∞,2)
5
4
>a>1时,由导数小于0得,函数的单调减区间为(-∞,a-
a2-1
),(a+
a2-1
,2)

由导数大于0得增区间(a-
a2-1
,a+
a2-1
),(2,+∞)

当a
5
4
时,由导数小于0得,函数的单调减区间为(-∞,a-
a2-1
),(2,a+
a2-1
)

由导数大于0得增区间(a-
a2-1
,2),(a+
a2-1
+∞)
点评:本题以函数为载体,考查导数的几何意义,考查直线与圆相切,考查函数的单调区间.
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已知函数f(x)=ax+
bx
+c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1.
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329
恒成立,求实数a的取值范围.

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10
3
,则a的值为
3或
1
3
3或
1
3

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(2012•惠州模拟)(注:本题第(2)(3)两问只需要解答一问,两问都答只计第(2)问得分)
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f(x)x-1
对任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)当m>n>1(m,n∈Z)时,证明:(nmmn>(mnnm

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