Question

在平面直角坐标系中有两点A（-1，3

3

）、B（1，

3

），以原点为圆心，r＞0为半径作一个圆，与射线y=-

3

x（x＜0）交于点M，与x轴正半轴交于N，则当r变化时，|AM|+|BN|的最小值为

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：计算题,转化思想,推理和证明

分析：由题意，设M（a，-

3

a）（a＜0），则r=-2a，N（-2a，0）．可得|AM|+|BN|=

(a+1)2+(- 3 a-3 3 )2

+

(2a+1)2+3

，设2a=x，进而可以理解为（x，0）与（-

5

，

3

）和（-1，

3

）的距离和，即可得出结论．

解答： 解：由题意，设M（a，-

3

a）（a＜0），则r=-2a，N（-2a，0）．
∴|AM|+|BN|=

(a+1)2+(- 3 a-3 3 )2

+

(2a+1)2+3

设2a=x，则|AM|+|BN|=

(x+5)2+(0- 3 )2

+

(x+1)2+(0- 3 )2

，
可以理解为（x，0）与（-5，

3

）和（-1，

3

）的距离和，
∴|AM|+|BN|的最小值为（-5，

3

）和（-1，-

3

）的距离，即2

7

．
故答案为：2

7

．

点评：本题考查两点间距离公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．