Question

2．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃大小关系为S₂＜S₃＜S₁．

Answer 1

分析 设球的半径为 R，正方体的棱长为 a，等边圆柱的底面半径为 r，且它们的体积都为 V，则V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}={a}^{3}=2π{r}^{3}$，由此能比较S₁，S₂，S₃大小．

解答 解：设球的半径为 R，正方体的棱长为 a，等边圆柱的底面半径为 r，且它们的体积都为 V，
则V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}={a}^{3}=2π{r}^{3}$，
解得$R=\root{3}{\frac{3V}{4π}}$，a=$\root{3}{V}$，r=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，
∴S₁=6×a²=6（$\root{3}{V}$）²=6$\root{3}{{V}^{2}}$=$\root{3}{216{V}^{2}}$，
S₂=4πR²=4π（$\root{3}{\frac{3V}{4π}}$）²=$\root{3}{36π{V}^{2}}$，
S₃=2π$\root{3}{（\frac{V}{2π}）^{2}}+2π•2\root{3}{（\frac{V}{2π}）^{2}}$=$\root{3}{54π{V}^{2}}$．
∴S₂＜S₃＜S₁．
故答案为：S₂＜S₃＜S₁．

点评 本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用．