Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x+a，x∈R．且f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值是-1
（1）求函数f（x）的最小正周期及a的值；
（2）在△ABC中，若f（C）=

3

，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，利用二倍角公式化简函数解析式f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a+1，然后借助于周期公式和三角函数的性质求解；
（2）利用f（C）=

3

，求解C的值，然后，结合2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），得到cosA=（1-

3

）sinA，最后，求解tanA的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）+

3

cos2x+a
∴f（x）=1-cos（

π

2

+2x）+

3

cos2x+a
=sin2x+

3

cos2x+a+1，
=2sin（2x+

π

3

）+a+1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的最小正周期π，
∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴（2x+

π

3

）∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴2sin（2x+

π

3

）∈[-1，2]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a+1∈[a，3+a]，
∵f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值是-1
∴a=-1，
∴a的值-1．
（2）根据（1），f（x）=2sin（2x+

π

3

），
∴f（C）=2sin（2C+

π

3

）=

3

，
∴sin（2C+

π

3

）=

3

2

，
∴2C+

π

3

=

2π

3

，
∴C=

π

6

，
∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），
∴2sinB=2sinAsinC，
∴2sin（

5π

6

-A）=sinA，
∴2sin（A+

π

6

）=sinA，
∴cosA=（1-

3

）sinA，
∴tanA=

sinA

cosA

=

1

1- 3

=-

1+ 3

2

．

点评：本题综合考查了二倍角公式、诱导公式、和差化积公式等知识，属于中档题．