【题目】已知函数f(x)=2cos2(x﹣ )﹣
sin2x+1
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)当x∈( ,
)时,若f(x)≥log2t恒成立,求 t的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵f(x)=cos(2x﹣ )﹣
sin2x+2=
cos2x﹣
sin2x+2=cos(2x+
)+2, 由2kπ﹣π≤2x+
≤2kπ,k∈Z,得k
≤x≤k
,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为[k ,k
],k∈Z,.
(或者:f(x)= ﹣
+2=
cos2x﹣
+2
=﹣ +2,
令 +2kπ≤
≤
+2kπ,k∈Z.
则 +kπ≤x≤
+kπ,k∈Z.…(5分)
∴f(x)的单调递增区间为:[ +kπ,
+kπ],k∈Z.
(Ⅱ)∵ ,
∴ ,
∴﹣1≤cos( )≤﹣
,1≤cos(2x+
)+2
,
(或者:∵ ,∴
∴ ≤
≤1∴1≤﹣
+2≤
∴f(x) ,f(x)min=1.
若f(x)≥log2t恒成立,∴则log2t≤1,
∴0<t≤2,
即t的取值范围为(0,2]
【解析】(Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=cos(2x+ )+2,由2kπ﹣π≤2x+
≤2kπ,k∈Z,即可解得f(x)的单调递增区间.(Ⅱ)由
,可得
,解得1≤cos(2x+
)+2
,求得f(x)
,f(x)min=1,由题意log2t≤1,从而解得t的取值范围.
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【题目】设函数的定义域为
,如果存在正实数
,使得对任意
,都有
,且
恒成立,则称函数
为
上的“
的型增函数”,已知
是定义在
上的奇函数,且在
时,
,若
为
上的“2017的型增函数”,则实数
的取值范围是__________.
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【题目】在如图所示直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,AB=AD=2DC=4,画出该梯形的直观图A′B′C′D′,并写出其做法(要求保留作图过程的痕迹.)
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【题目】假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到,小明离家的时间在早上7:00—8:00之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验,准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其实验统计结果如下
方式 | 实施地点 | 大雨 | 中雨 | 小雨 | 模拟实验次数 |
A | 甲 | 2次 | 6次 | 4次 | 12次 |
B | 乙 | 3次 | 6次 | 3次 | 12次 |
C | 丙 | 2次 | 2次 | 8次 | 12次 |
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响,且不考虑洪涝灾害,请根据统计数据:
(1)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率;
(2)考虑不同地区的干旱程度,当雨量达到理想状态时,能缓解旱情,若甲、丙地需中雨或大雨即达到理想状态,乙地必须是大雨才达到理想状态,记“甲、乙、丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量,求
的分布列和数学期望.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1=1,E,F分别是CC1 , BC的中点.
(Ⅰ)求证:B1F⊥平面AEF;
(Ⅱ)求三棱锥E﹣AB1F的体积.
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【题目】已知集合A={x|3≤3x≤27}, .
(1)分别求A∩B,(RB)∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值集合.
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【题目】已知以点A(﹣1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(﹣2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点
(1)求圆A的方程.
(2)当|MN|=2 时,求直线l方程.
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