【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)在平面直角坐标系中,将曲线的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到曲线,过点作直线,交曲线于两点,若,求直线的斜率.
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从A乘缆车到B,在B处停留后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路AC长为,经测量,,.当乙出发________分钟时,乙在缆车上与甲的距离最短.
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【题目】已知直线:和二次函数,若直线与二次函数的图象交于,两点.
(1)求直线在轴上的截距;
(2)若点的坐标为,求点的坐标;
(3)当时,是否存在直线与圆:相切?若存在,求线段的长;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,若在定义域内存在,使得成立,则称为函数的局部对称点.
(1)证明:函数在区间内必有局部对称点;
(2)若函数在R上有局部对称点,求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列中,,(且).
(1)求的值;
(2)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(3)设数列的前n项和为,求.
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【题目】随着科学技术的飞速发展,手机的功能逐渐强大,很大程度上代替了电脑、电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关,某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查,调查结果如下表所示:
平均每天使用手机超过3小时 | 平均每天使用手机不超过3小时 | 合计 | |
男生 | 25 | 5 | 30 |
女生 | 9 | 11 | 20 |
合计 | 34 | 16 | 50 |
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关?
(2)在这20名女生中,调查小组发现共有15人使用国产手机,在这15人中,平均每天使用手机不超过3小时的共有9人.从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人,求这3人中使用非国产手机的人数X的分布列和数学期望.
参考公式:
P(K2≥k0) | 0.500 | 0.400 | 0.250 | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知抛物线x2=4y.
(1)求抛物线在点P(2,1)处的切线方程;
(2)若不过原点的直线l与抛物线交于A,B两点(如图所示),且OA⊥OB,|OA|=|OB|,求直线l的斜率.
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