Question

在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，SA=AD，M为AB的中点，N为SC的中点．
（1）求证：MN∥平面SAD；
（2）求证：平面SMC⊥平面SCD；
（3）记

CD

AD

=λ，求实数λ的值，使得直线SM与平面SCD所成的角为30°．

Answer 1

证明：（1）取SD中点E，连接AE，NE，
则NE=

1

2

CD=AM，NE∥CD∥AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE…（1分）
又∵MN?平面SAD，AE?平面SAD，
∴MN∥平面SAD…（3分）
（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，
又∵SA∩AD=A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥SD
∴∠SDA即为二面角S-CD-A的平面角，
即∠SDA=45°…（5分）
∴△SAD为等腰直角三角形，∴AE⊥SD
∵CD⊥平面SAD，∴CD⊥AE，
又SD∩CD=D，SD?平面SCD，CD?平面SCD
∴AE⊥平面SCD∵MN∥AE，∴MN⊥平面SCD，
∵MN?平面SMC，
∴平面SMC⊥平面SCD…（8分）
（3）∵

CD

AD

=λ，设AD=SA=a，则CD=λa
由（2）可得MN⊥平面SCD，∴SN即为SM在平面SCD内的射影
∴∠MSN即为直线SM与平面SCD所成角，
即∠MSN=30°…（9分）
而MN=AE=

2

2

a，
∴Rt△SAM中，SM=

a2+(λa)2

，而MN=AE=

2

2

a，
∴Rt△SAM中，由sin∠MSN=

MN

SN

得

1

2

=

2 2 a

a2+(λa)2

，解得λ=2
当λ=2时，直线SM与平面SCD所成角为30°（14分）