Question

【题目】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且；

求证：（1）点E，F，G，H四点共面；

（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意利用中位线定理，平行线分线段成比例逆定理和平行公理，可得，再根据公理2的推论即得证；

（2）由（1）知且，所以EH与FG交于一点P，只需再证明点P在直线BD上，即可证出．

（1）如图所示，连接EF，HG，

空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，

∴且．

又，∴且．

故，即E、F、G、H四点共面．

（2）由（1）知且，

∴设EH与FG交于点P，

∵平面ABD，P在平面ABD内，

同理P在平面BCD内，且平面平面，

∴点P在直线BD上，

∴直线EH，BD，FG相交于一点．