Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 抛物线y2=4x与椭圆C有相同的焦点，且椭圆C过点 ． （I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆C的右顶点为A，直线l交椭圆C于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF，若点P为EF中点，求直线AP斜率的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：抛物线y2=4x的焦点（1，0）与椭圆C有相同的焦点，即c=1， a2=b2+c2=b2+1，
由椭圆C过点 ，代入椭圆方程： ，解得：a=2，b= ，
则椭圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
则 ，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由2+xE= ，可得xE= ，yE=k（xE﹣2）=﹣ ，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣ ，可得xF= ，yF= ，
由P为EF的中点，
即有P（ ， ），
则直线AP的斜率为t= = ，
当k=0时，t=0；当k≠0时，t= ，
再令s= ﹣k，可得t= ，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t= ≤ = ，
当且仅当4s= 时，取得最大值；
综上可得直线AP的斜率的最大值为
【解析】（I）由题意可知：抛物线y2=4x的焦点（1，0），c=1，将点 代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程由韦达定理，求得E点坐标，由AE⊥AF，及中点坐标公式求得P坐标及直线AP的方程，当k≠0时，t= ，利用换元法及基本不等式的性质，即可求得直线AP斜率的最大值．