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已知函数处取得极值,且恰好是的一个零点.
(Ⅰ)求实数的值,并写出函数的单调区间;
(Ⅱ)设分别是曲线在点(其中)处的切线,且
①若的倾斜角互补,求的值;
②若(其中是自然对数的底数),求的取值范围.

(Ⅰ)增区间,减区间;(Ⅱ)①;②.

解析试题分析:(Ⅰ)根据函数处取得极值有,以及是函数的一个零点,有,由这两个等式列方程组求,从而确定函数,进而利用导数求函数的单调增区间与减区间;(Ⅱ)①在(Ⅰ)函数的解析式确定的基础上,由,由的倾斜角互补得到以及可以求出的值;②根据这个条件确定的关系,再进行适当转化利用基本不等式或函数的最值的思想求的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)
由已知得: 得            3分
解得.                               4分
时,,当时,
所以函数单调减区间是,增区间是.         6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,       
依题意,直线的斜率分别为
因为,所以
所以.(*)
①因为的倾斜角互补,所以, 
,(**)                   8分
由(*)(**),结合,解得
.                             10分
②因为,所以
所以
所以 ,当且仅当时,等号成立.
又因为,当且仅当时,等号成立.
所以.                      14分
考点:函数的图象、两条直线的垂直、函数的单调区间、基本不等式

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知是定义在上的奇函数,且当时,
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)判断并证明函数在区间上的单调性.

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若定义在上的函数同时满足:①;②;③若,且,则成立.则称函数为“梦函数”.
(1)试验证在区间上是否为“梦函数”;
(2)若函数为“梦函数”,求的最值.

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定义域为的函数,其导函数为.若对,均有,则称函数上的梦想函数.
(Ⅰ)已知函数,试判断是否为其定义域上的梦想函数,并说明理由;
(Ⅱ)已知函数)为其定义域上的梦想函数,求的取值范围;
(Ⅲ)已知函数)为其定义域上的梦想函数,求的最大整数值.

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已知函数是不为零的实数,为自然对数的底数).
(1)若曲线有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求k的值;
(2)若函数在区间内单调递减,求此时k的取值范围.

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已知函数,试讨论此函数的单调性。

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设定义在上的函数,满足当时, ,且对任意,有,
(1)解不等式
(2)解方程

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已知函数时,求曲线在点处的切线方程;求函数的极值

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已知不等式
(1)若对所有的实数不等式恒成立,求的取值范围;
(2)设不等式对于满足的一切的值都成立,求的取值范围。

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