已知函数在处取得极值,且恰好是的一个零点.
(Ⅰ)求实数的值,并写出函数的单调区间;
(Ⅱ)设、分别是曲线在点和(其中)处的切线,且.
①若与的倾斜角互补,求与的值;
②若(其中是自然对数的底数),求的取值范围.
(Ⅰ)增区间,减区间;(Ⅱ)①,;②.
解析试题分析:(Ⅰ)根据函数在处取得极值有,以及是函数的一个零点,有,由这两个等式列方程组求和,从而确定函数,进而利用导数求函数的单调增区间与减区间;(Ⅱ)①在(Ⅰ)函数的解析式确定的基础上,由得,由与的倾斜角互补得到以及可以求出与的值;②根据这个条件确定与的关系,再进行适当转化利用基本不等式或函数的最值的思想求的取值范围.
试题解析:(Ⅰ),
由已知得: 得 3分
解得. 4分
当时,,当时,,
所以函数单调减区间是,增区间是. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
依题意,直线和的斜率分别为和,
因为,所以,
所以.(*)
①因为与的倾斜角互补,所以,
即,(**) 8分
由(*)(**),结合,解得,,
即,. 10分
②因为,所以,,
所以,
所以 ,当且仅当时,等号成立.
又因为,当且仅当时,等号成立.
所以. 14分
考点:函数的图象、两条直线的垂直、函数的单调区间、基本不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若定义在上的函数同时满足:①;②;③若,且,则成立.则称函数为“梦函数”.
(1)试验证在区间上是否为“梦函数”;
(2)若函数为“梦函数”,求的最值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义域为的函数,其导函数为.若对,均有,则称函数为上的梦想函数.
(Ⅰ)已知函数,试判断是否为其定义域上的梦想函数,并说明理由;
(Ⅱ)已知函数(,)为其定义域上的梦想函数,求的取值范围;
(Ⅲ)已知函数(,)为其定义域上的梦想函数,求的最大整数值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(是不为零的实数,为自然对数的底数).
(1)若曲线与有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求k的值;
(2)若函数在区间内单调递减,求此时k的取值范围.
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