Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，侧棱与底面所成角为θ，点B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求证：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）若cosθ=

1

3

，且当AC=BC=AA₁=3时，求二面角C-AB-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要证：AC⊥平面BB₁C₁C，只需证明B₁D⊥AC，BC⊥AC即可；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的数量积求出两个向量的夹角，进而转化为二面角C-AB-C₁的大小．

解答：解：（1）证明：∵点B₁在底面上的射影D落在BC上，
∴B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C．                                            …（4分）
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，3，0），C1(0，-1，2

2

)，
所以

AB

=(-3，3，0)，

BC1

=(0，-4，2

2

)．
由题意可得：显然平面ABC的法向量n=（0，0，1）．           …（7分）
设平面ABC₁的法向量为

m

=（x，y，z），
由

m • AB =0 m • BC1 =0

，即

-3x+3y=0 -4y+2 2 z=0

，

m

=(

2

，

2

，2)…（12分）  
∴cos＜

n

，

m

＞= 

2

2

，＜

n

，

m

＞=45°
∴二面角C-AB-C₁的大小是45°． …（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑思维能力，是中档题．