Question

已知离心率为

3

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点到左焦点F的最长距离为

3

+2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，求椭圆的“左特征点”M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)离心率为

3

2

，其上的点到左焦点F的最长距离为

3

+2，可建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（2）设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，利用韦达定理，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意知

a+c= 3 +2 c a = 3 2

，∴a=2，c=

3

，∴b=

a2-c2

=1
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2 =1；
（2）设M（m，0）为椭圆

x2

4

+y2 =1的左特征点，椭圆的左焦点F（-

3

，0），
可设直线AB的方程为x=ky-

3

（k≠0）
代入

x2

4

+y2 =1，得：（ky-

3

）y²+4y2=4，即（k²+4）y²-2

3

ky-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=

2 3 k

k2+4

，y₁y₂=-

1

k2+4

∵∠AMB被x轴平分，k_AM+k_BM=0，即

y1

x1-m

+

y2

x2-m

=0，
即y₁（ky₂-

3

）+y₂（ky₁-

3

）-（y₁+y₂）m=0
所以，2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+

3

）=0
于是，2k×（-

1

k2+4

）-

2 3 k

k2+4

×（m+

3

）=0
∵k≠0，∴1+

3

（m+

3

）=0，即m=-

4 3

3

，∴M（-

4 3

3

，0）

点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky-2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．