Question

定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立．

(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

(2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[－3，3)上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件；

(3)解关于x的不等式f(ax²)－f(x)＞f(a²x)－f(a)，(n是一个给定的自然数，a＜0．)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知对于任意x∈R，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立 　　令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0 　　令x＝－y，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0 　　∴对于任意x，都有f(－x)＝－f(x)．　　∴f(x)是奇函数． 　　(2)设任意x1，x2∈R且x1＜x2，则x2－x1＞0，由已知f(x2－x1)＜0　　① 　　又f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(－x1)　　② 　　由①，②得f(x1)＞f(x2)，根据函数单调性的定义知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数． 　　∴f(x)在[－3，3]上的最大值为f(－3)．要使f(x)≤6恒成立，当且仅当f(－3)≤6， 　　又∵f(－3)＝－f(3)＝－f(2＋1)＝－[f(2)＋f(1)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)，　　∴f(1)≥－2． 　　(3)f(ax2)－f(x)＞f(ax2)－f(a) 　　f(ax2)－f(a2x)＞n[f(x)－f(a)] 　　f(ax2－a2x)＞nf(x－a) 　　由已知得：f[n(x－a)]＝nf(x－a)　　∴f(ax2－a2x)＞f[n(x－a)] 　　∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数　　∴ax2－a2x＜n(x－a)． 　　即(x－a)(ax－n)＜0，　　∵a＜0，　　∴(x－a)(x－)＞0， 　　讨论： 　　①当a＜＜0，即a＜－时，原不等式解集为{x|x＞或x＜a}； 　　②当a＝＜0即a＝－时，原不等式的解集为 　　③当＜a＜0时，即－＜a＜0时， 　　原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}