Question

14．已知函数f（x）=x²+lnx-ax在（0，1）上是增函数，则实数a的取值范围是（-∞，$2\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是增函数，等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，即可得到结论．

解答 解：函数的定义域为（0，+∞），要使f（x）=lnx+x²-ax在定义域内是增函数，
则等价为f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，
∵f（x）=lnx+x²-ax，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a≥0，
即a≤$\frac{1}{x}$+2x在x∈（0，1）上恒成立，
当x＞0时，y=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
则a≤2$\sqrt{2}$，
故答案为：（-∞，$2\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数单调性的应用和判断，根据函数导数和单调性之间的关系转化为函数恒成立即可得到结论．