Question

15．已知2lg$\frac{x-y}{2}$=lgx+lgy，求log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$$\frac{x}{y}$．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行化简即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{\frac{x-y}{2}＞0}\end{array}\right.$得x＞y＞0，即$\frac{x}{y}$＞1，
则由2lg$\frac{x-y}{2}$=lgx+lgy，得lg（$\frac{x-y}{2}$）²=lgxy，
即（$\frac{x-y}{2}$）²=xy，
即（x-y）²=4xy，
即x²-2xy+y²=4xy，
即x²-6xy+y²=0，
即（$\frac{x}{y}$）²-6（$\frac{x}{y}$）+1=0，
则$\frac{x}{y}$=$\frac{6+\sqrt{36-4}}{2}$=3+2$\sqrt{2}$或$\frac{x}{y}$=3-2$\sqrt{2}$（舍），
则log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$$\frac{x}{y}$=log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$（3+2$\sqrt{2}$）=log${\;}_{（3-2\sqrt{2}）}$（3-2$\sqrt{2}$）^-1=-1

点评 本题主要考查对数的基本运算，根据对数的运算法则是解决本题的关键．