Question

己知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²+a_n+1a_n-2a_n²=0（n∈N^*），且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=a_nlog

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列是一个各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，把这个式子分解，变为两个因式乘积的形式，（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，注意数列是一个正项数列，得到a_n+1-2a_n=0，得到数列是一个等比数列，写出通项．
（Ⅱ）本题构造了一个新数列，要求新数列的和，注意观察数列是有一个等差数列和一个等比数列乘积组成，需要用错位相减来求和，两边同乘以2，得到结果后观察S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n=0，
即a_n+1=2a_n，所以数列{a_n}是以2为公比的等比数列．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2a₃+4，
∴2a₁+8a₁=8a₁+4，
∴a₁=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及b_n=anlog

1

2

an得，b_n=-n•2ⁿ，
∵S_n=b₁+b₂++b_n，
∴S_n=-2-2•2²-3•2³-4•2⁴--n•2ⁿ①
∴2S_n=-2²-2•2³-3•2⁴-4•2⁵--（n-1）•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³+2⁴+2⁵++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2，
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，只需2ⁿ⁺¹-2＞50成立，即2ⁿ⁺¹＞52，
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值为5．

点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．