Question

在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为：[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3．则下列结论正确的为

 

．
①2014∈[2]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]；
④若a∈[1]，b∈[2]，则a-b∈[3]；
⑤若整数a，b属于同一类，则a-b∈[0]．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：依据“类”的定义：即若整数除以4的余数是k，该整数就属于类[k]，直接判断5个结论的真假，可得答案．

解答： 解：由类的定义[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，可知，只要整数m=4n+k，n∈Z，k=0，1，2，3，则m∈[k]．
对于①2014=4×503+2，故2014∈[2]，故①正确；
对于②-3=4×（-1）+1，∴-3∈[1]，故②不正确；
对于③所有的整数按被4除所得的余数分成四类，即余数分别是0，1，2，3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故③正确；
对于④a∈[1]，b∈[2]，则a=4m+1，b=4n+2，m，n∈Z，则a-b=4（m-n）-1=4（m-n-1）+3，m-n-1∈Z，即a-b∈[3]；故④正确；
对于⑤∵“整数a，b属于同一类”不妨令a=4m+k，b=4n+k，m，n∈Z，且k=0，1，2，3，则a-b=4（m-n）+0，∴a-b∈[0]；
反之，不妨令a=4m+k₁，b=4n+k₂，则a-b=4（m-n）+（k₁-k₂），若a-b∈[0]，则k₁-k₂=0，即k₁=k₂，所以整数a，b属于同一类．故整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]．故⑤正确．
故答案为：①③④⑤

点评：这是一个新定义问题，难度不大，关键是正确理解“类”的定义，并且恰当的将已知条件要判断的结论准确表达出来．