Question

点P在以F₁、F₂为焦点的双曲线

x2

3

-

y2

9

=1上运动，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：设点P（m，n ），则

m2

3

-

n2

9

=1  ①．设△PF₁F₂的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=

m-2 3 +2 3

3

，y=

n+0+0

3

，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．

解答：解：由双曲线的方程可得 a=

3

，b=3，c=2

3

，∴F₁（-2

3

，0），F₂（-2

3

，0）．
设点P（m，n ），则

m2

3

-

n2

9

=1  ①．设△PF₁F₂的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得
x=

m-2 3 +2 3

3

，y=

n+0+0

3

，即 m=3x，n=3y，代入①化简可得
3x²-y²=1，故△PF₁F₂的重心G的轨迹方程是 3x²-y²=1，
故答案为3x²-y²=1．

点评：本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ） 与重心G（x，y） 的坐标间的关系是解题的关键．