Question

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c=

3

asinC-ccosA．
（1）求∠A的大小；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，由C为三角形的内角，得到sinC不为0，等式左右两边同时除以sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
（2）由余弦定理和已知可解得bc≤9，从而可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简已知等式得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵C为三角形的内角，即sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
又A为三角形的内角，
∴A-

π

6

=

π

6

，
则A=

π

3

．
（2）由余弦定理，可得：a²=9=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc
即bc≤9，
所以S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

×9×

3

2

=

9 3

4

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．