Question

已知向量

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值为-3，求实数k的值；
（3）若对任意实数x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量垂直的充要条件的坐标表示式，建立关于x、y的等式，从中解出用x表示y的式子，即可得到函数y=f（x）的解析式．
（2）将f（x）表达式的分子、分母都除以2^x，得到它的分母2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3．再根据k与1的大小关系分类讨论，即可得到必定有k＜1，且当2^x=2^-x=1即x=0时，函数有最小值为-3，由此解关于k的等式即得实数k的值．
（3）根据构成三角形的条件，得出不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，然后分三种情况进行讨论，转化为f（x₁）+f（x₂）的最小值与f（x₃）的最大值的不等式，进而可以求出实数k 的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化简整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函数y=f（x）的解析式为y=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

；
（2）∵f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

(k-1)•2x

4x+2x+1

∴根据函数f（x）的最小值为-3，得t=

(k-1)•2x

4x+2x+1

的最小值为-4
∵2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3
∴当k＞1时，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≤

k-1

3

；当k＜1时，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≥

k-1

3

；
k=1时，函数f（x）=1恒成立不符合题意．
∴结合题意可得k＜1，且当且仅当2^x=2^-x=1，即x=0时，t的最小值为

k-1

3

=-4，解之得k=-11
即函数f（x）的最小值为-3时，实数k的值为-11；
（3）∵对任意实数x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因为2＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，
∴

k+2

3

≤2，解之得1＜k≤4；
当k=1时，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足题意的条件；
当k＜1时，因为

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，
∴

2k+4

3

≥1，解之得-

1

2

≤k＜1；
综上所述，实数k的取值范围是[-

1

2

，4]

点评：本题以向量的数量积运算为载体，求函数的表达式并讨论函数的最值．着重考查了向量数量积公式、基本不等式求最值、函数恒成立等知识，属于中档题．