Question

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的一段图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=g（x）的图象，求函数h（x）=f（x）+g（x）的图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析：（1）由图知A=2，T=π，于是ω=

2π

T

=2，题中的图象可看作是y=2sin2x的图象向左平移

π

12

个单位长度，可求Φ值；
（2）由（1）的方法可求g（x）的解析式，从而可求h（x）的解析式，利用整体法的思想易求得h（x）的对称轴和对称中心．

解答：解：（1）由图知A=2，T=π，于是ω=

2π

T

=2，
将y=2sin2x的图象向左平移

π

12

个单位长度，得y=2sin（2x+Φ）的图象．
于是?=2×

π

12

=

π

6

，∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．…（6分）
（2）依题意得g(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=-2cos(2x+

π

6

)．…（8分）
故h（x）=f（x）+g（x）=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)=2

2

sin(2x-

π

12

)．…（10分）
由2x-

π

12

=kπ+

π

2

，得x=

7π

24

+

kπ

2

，(k∈Z)．
由2x-

π

12

=kπ，得x=

π

24

+

kπ

2

，(k∈Z)．
∴h（x）的对称轴为x=

7π

24

+

kπ

2

，(k∈Z)，对称中心为(

π

24

+

kπ

2

，0)，(k∈Z)…（13分）

点评：本题为三角函数的图象与性质的综合应用，处理好图象的变换是解决问题的关键，属中档题．