Question

已知f（x）是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2011）等于

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   6

Answer 1

A
分析：先由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）=f（x）+2f（2），可得函数周期为4；就把f（2011）转化为f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解答：因为函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
所以函数f（x）的图象关于直线x=0对称，即函数f（x）是偶函数，故有f（-x）=f（x）．
∵对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）?f（-2）+f（2）=0?2f（2）=0?f（2）=0
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x）．即函数周期为4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故选A．
点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．