Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C₁，且AC₁=2．
（1）求证：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E为线段AC₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时，DE与平面BC₁D所成的角为30°？

Answer 1

（1）证明：∵AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，∴AD=

12+( 2 )2

=

3

=BC，
∵AC₁=2，∴AC12=AB2+BC12，∴∠ABC1=90°，∴AB⊥BC₁．
又AB⊥BD，BC₁∩BD=B，∴AB⊥平面BC₁D，
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BC₁D．
（2）在平面BC₁D过点B作直线l⊥BD，分别以直线l，BD，BA为x，y，z建立空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，1），C₁（1，

2

，0），D（0，

2

，0），
∴

AC1

=(1，

2

，-1)，

BA

=(0，0，1)，
设

AE

=λ

AC1

=(λ，

2

λ，-λ)，则E(λ，

2

λ，1-λ)，λ∈[0，1]，∴

DE

=(λ，

2

λ-

2

，1-λ)．
又

BA

=(0，0，1)是平面BC₁D的一个法向量，
依题意得sin30o=|cos＜

BA

，

DE

＞|，即|

1-λ

λ2+3(λ-1)2

|=

1

2

，
解得λ=

1

2

，即|C₁E|=1时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．