Question

已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）设f（x）的反函数f-1(x)，当a=

2

-1时，比较f^-1[g（x）]与-1的大小，证明你的结论；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比较f（n）与nf（1）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a^-x再根据函数的奇偶性进行化简，得到关于f（x）与g（x）的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式，从而证得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根据互为反函数的单调性的关系可得出y=f^-1（x）是R上的减函数，再将-1代入，可求出f（-1）的值，结合反函数的单调性比较大小即得；
（3）欲比较f（n）与nf（1）的大小，先作差，再构成函数?(x)=

1

2

(xn-x-n-nx+n•x-1)．根据导数研究此函数的单调性，从而得到证明．

解答：证明：（1）∵f（x）+g（x）=a^x，∴f（-x）+g（-x）=a^-x
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴-f（x）+g（x）=a^-x…2分
∴f（x）=

ax-a-x

2

，g（x）=

ax+a-x

2

． …3分
∴f（x）g（x）=

ax-a-x

2

•

ax+a-x

2

=

a2x-a-2x

4

=

1

2

f(2x)，即f（2x）=2f（x）g（x）．…5分
（2）∵0＜a=

2

-1＜1，∴f(x)=

ax-a-x

2

是R上的减函数，
∴y=f^-1（x）是R上的减函数．…6分
又∵f(-1)=

( 2 -1)-1-( 2 -1)1

2

=1，
∴g(x)≥2

ax 2 • a-x 2

=1=f(-1)，
∴f^-1[g（x）]≤-1．…8分
（3）f(n)-nf(1)=

an-a-n

2

-n•

a-a-1

2

=

1

2

(an-a-n-na+n•a-1)．10分
构成函数?(x)=

1

2

(xn-x-n-nx+n•x-1)．

∵?′(x)= 1 2 [nxn-1+n•x-(n+1)-n-n•x-2]= n 2 [(xn-1-1)+ 1 xn+1 (1-xn-1)] ，= n 2 (xn-1-1)(1- 1 xn+1 ). ，& & &  …12分

当x＞1，n≥2时，∅'（x）＞0，
∴∅（x）在[1，+∞）上是增函数．
a＞1时，∅（a）＞∅（1），即

1

2

（aⁿ-a^-n-na+na^-1）＞

1

2

（1-1-n+n）=0，
∴f（n）-nf（1）＞0，即f（n）＞nf（1）．（13分）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，根据函数的奇偶性与题设中所给的解析式求出两个函数的解析式，此是函数奇偶性运用的一个技巧．属于基础题．