Question

3．椭圆C的左、右焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），且点P（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过F₁的动直线l交椭圆C于A，B两点，求△F₂AB面积的最大值及面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义便可得到$|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|=2\sqrt{3}=2a$，从而可以求出a，再根据c=1便可求出b²，从而得出椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）根据题意可设直线l的方程为：x=my-1，联立椭圆的方程消去x便可得到（2m²+3）y²-4my-4=0，由韦达定理可以求出y₁+y₂，y₁•y₂，从而可以求出$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{4\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+1}}{2{m}^{2}+3}$，可以得出${S}_{△{F}_{2}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+1}}{2{m}^{2}+3}$．为求△F₂AB面积的最大值，可换元：令2m²+3=t，t≥3，从而得到${S}_{△{F}_{2}AB}=2\sqrt{6}\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}}$，而$\frac{1}{t}∈（0，\frac{1}{3}]$，从而可以看出$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$时，△F₂AB的面积最大，并可求出该最大值，并可求出此时m的值，从而得出直线l的方程．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$；
∵|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{{{（1+1）}^2}+（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）{\;}^2}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）{\;}^2}$=$2\sqrt{3}=2a$；
a²=3，又c=1，所以b²=2；
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）设直线l：x=my-1，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\\ x=my-1\end{array}\right.$得（2m²+3）y²-4my-4=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{2{m^2}+3}}$，${y_1}{y_2}=-\frac{4}{{2{m^2}+3}}$；
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$\frac{{4\sqrt{3（{m^2}+1）}}}{{2{m^2}+3}}$；
∴${S}_{△{F}_{2}AB}={S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}+{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}|•|{y_1}-{y_2}|$=|y₁-y₂|=$\frac{{4\sqrt{3（{m^2}+1）}}}{{2{m^2}+3}}$；
令t=2m²+3≥3，则${m^2}=\frac{t-3}{2}$，所以${S}_{△{F}_{2}AB}$=$\frac{{4\sqrt{3（\frac{t-3}{2}+1）}}}{t}$=$2\sqrt{6}\sqrt{-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}}$=$2\sqrt{6}\sqrt{-{{（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{4}}$；
因为$\frac{1}{t}∈（0，\frac{1}{3}]$，所以当$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$，即m=0时，$（{S}_{{F}_{2}AB}）_{max}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
此时直线的方程为x=-1．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，a²=b²+c²，直线l的方程设成x=my-1是本题求解的关键，该直线方程包括了斜率不存在和斜率存在不为0的情况，韦达定理，以及三角形面积公式，换元法的运用，配方处理二次式子的方法．