Question

2．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA=3AB．求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

解答 解：∵P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，AE⊥PD，PA=3AB，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），
P（0，0，3），D（0，1，0），设E（0，b，c），$\overrightarrow{PE}$=λ$\overrightarrow{PD}$，
则（0，b，c-3）=λ（0，1，-3）=（0，λ，-3λ），∴b=λ，c=3-3λ，E（0，λ，3-3λ），
∵AE⊥PD，$\overrightarrow{AE}$=（0，λ，3-3λ），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-3），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}$=0+λ-9+9λ=0，解得λ=$\frac{9}{10}$，∴E（0，$\frac{9}{10}$，$\frac{3}{10}$），
$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{9}{10}，\frac{3}{10}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{9}{10}y+\frac{3}{10}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-3），
设直线AC与平面ABE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{10}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．