Question

写出下列数列的一个通项公式:

(1),,,,…；

(2)－1,,－,,…；

(3)5,55,555,5555,…；

(4),1,,,…；

(5) ,－,,－,….

Answer 1

解:(1)每一项由三部分构成,①分母是从3开始的奇数列,可表示为a_n=2n+1.②分子的前一部分为从2开始的自然数的平方列,表示为a_n=(n+1)²,③分子的后一部分为减去一个非零的自然数,表示为a_n=n,综合①②③得a_n=.

(2)数列的符号规律为(－1)ⁿ,由第二、三、四项特点,可将第一项看作－,这样,先不考虑符号,则分母为3,5,7,9,…,其通项为a_n=2n+1,分子为3,8,15,24,…,将其每一项加1后变为4,9,16,25,…,该数列的通项为a_n=(n+1)².综上知,数列的通项公式为a_n=(－1)ⁿ·=  (－1)ⁿ.

(3)将每个数进行分解,a₁=5=5·1=5·；a₂=55=5·11=5·=5·；a₃=555=5·111=5·=5·,由它的演变过程不难得到a_n=(10ⁿ－1).

(4)将所给数列变形得,,,,…,进一步写成,,,…,可得a_n=.

(5)符号规律为(－1)ⁿ⁺¹,分子为(2n－1)²,分母为2n,则a_n=(－1)ⁿ⁺¹.