Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若

AF

=3

FB

．则k=（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据

AF

=3

FB

求得y₁和y₂关系根据离心率设a=2t，c=

3

t，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，进而根据y₁和y₂关系求得k．

解答：解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

AF

=3

FB

，∴y₁=-3y₂，
∵e=

3

2

，设a=2t，c=

3

t，b=t，
∴x²+4y²-4t²=0①，
设直线AB方程为x=sy+

3

t，代入①中消去x，可得(s2+4)y2+2

3

sty-t2=0，
∴y1+y2=-

2 3 st

s2+4

，y1y2=-

t2

s2+4

，-2y2=-

2 3 st

s2+4

，-3

y

2 2

=-

t2

s2+4

，
解得s2=

1

2

，k=

2

故选B

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．