Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O．
（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱上AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连AC，BD，A₁C₁，则O为AC，BD的交点，易知四边形A₁OCO₁为平行四边形，则A₁O||O₁C，而A₁O⊥平面ABCD则O₁C⊥平面ABCD，又O₁C?平面O₁DC，满足面面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH||A₁O，点H在直线AC上，且EF在平面ABCD上的射影为HF．由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD则CF=2BF，从而可知当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD；
（III）过点O作OM⊥AA₁，垂足为M，连接BM，由三垂线定理得AA₁⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA₁-B的平面角，在三角形OMB中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）连AC，BD，A₁C₁，则O为AC，BD的交点，
O₁为A₁C₁，B₁D₁的交点．
由平行六面体的性质知：A₁O₁||OC且A₁O₁=OC
∴四边形A₁OCO₁为平行四边形，A₁O||O₁C
又∵A₁O⊥平面ABCD∴O₁C⊥平面ABCD
又∵O₁C?平面O₁DC∴平面O₁DC⊥平面ABCD
（Ⅱ）作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则EH||A₁O，点H在直线AC上，
且EF在平面ABCD上的射影为HF．
由三垂线定理及其逆定理，知EF⊥AD?FH||AB∵AE=2EA₁，∴AH=2HO，从而CH=2AH．又∵HF||AB，∴CF=2BF
从而EF⊥AD?CF=2BF∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD
（III）过点O作OM⊥AA₁，垂足为M，连接BM．∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥OB
又∵OB⊥OA∴OB⊥平面A₁AO．由三垂线定理得AA₁⊥MB∴∠OMB为二面角C-AA₁-B的平面角．
在Rt△AMB中，∠MAB=60°，∴MB=

3

2

AB
又∵BO=

2

2

AB，∴sin∠OMB=

6

3

∴∠OMB=arcsin

6

3

二面角C-AA₁-B的大小为arcsin

6

3

点评：本题主要考查了面面垂直的判定和二面角的度量，求解二面角的关键是寻找二面角的平面角，同时考查了推理能力和计算能力，属于中档题．