【题目】如图,在四棱锥中,平面平面,且,.四边形满足,,.为侧棱的中点,为侧棱上的任意一点.
(1)若为的中点,求证: 面平面;
(2)是否存在点,使得直线与平面垂直? 若存在,写出证明过程并求出线段的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)由面面垂直的性质定理可得平面,从而得,再结合,可得平面,又利用三角形中位线定理可得,进而可得结果;(2)过点作,垂足为,先证明平面,结合平面,得,从而可得平面,利用三角形面积相等即可得线段的长.
试题解析:(1)∵分别为侧棱的中点,∴.
∵,∴.
∵面平面,且,面平面,
∴平面,结合平面,得.
又∵, ,∴平面,可得平面.
∴ 结合平面,得平面 平面.
(2)存在点,使得直线与平面垂直.
平面中,过点作,垂足为
∵由己知,,,.
∴根据平面几何知识,可得.
又∵由(1)平面,得 ,且,
∴平面,结合平面,得.
又∵,∴平面.
在中,, ,,
∴,.
∴上存在点,使得直线与平面垂直,此时线段长为.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图的的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由.
(3)估计居民月用水量的中位数.
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【题目】已知函数 ,函数 x.
(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,1]时,求函数y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值h(a);
(3)是否存在非负实数m、n,使得函数 的定义域为[m,n],值域为[2m,2n],若存在,求出m、n的值;若不存在,则说明理由.
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【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点,连接DE,BD,BE.
(1)证明:DE⊥平面PBC.
(2)试判断四面体EBCD是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(3)记阳马P﹣ABCD的体积为V1 , 四面体EBCD的体积为V2 , 求 的值.
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【题目】已知,则下列结论中正确的是( )
A. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
B. 函数图象关于点中心对称
C. 函数的图象关于对称
D. 函数在区间内单调递增
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【题目】已知A(1,2),B(﹣1,2),动点P满足 ,若双曲线 =1(a>0,b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是 .
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【题目】已知函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2﹣x+a,若函数g(x)=f(x)﹣x的零点恰有两个,则实数a的取值范围是( )
A.a<0
B.a≤0
C.a≤1
D.a≤0或a=1
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