【题目】已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)说明函数的图像可由正弦曲线
经过怎样的变化得到;
(Ⅲ)若是第二象限的角,求
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)如解析所示;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)直接根据周期公式即可求出最小正周期,通过正弦型复合函数的单调性求解增区间;(Ⅱ)可先平移后伸缩变换,也可先伸缩后平移变换得到;(Ⅲ)把代到(1)中的函数解析式,结合
的范围求解
的正余弦值,由二倍角可得答案.
试题解析:(Ⅰ)由可知,函数的最小正周期为
令,则
的增区间是
,
由,解得
所以函数的单调递增区间是
(Ⅱ)将和图像纵坐标不变, 横坐标为原来的
倍得到
的图像,将
和图像向左平移
得到
的图像,将
的图像横坐标不变,纵坐标为原来的
倍得到
的图像
或,将和图像向左平移
,得到
的图像,将
纵坐标
不变,横坐标为原来的得到
的图像,将
图像横坐标不变,纵坐标为原来的
倍得到
的图像.
(Ⅲ)由知,所以
,即
,
又是第二象限的角,所以
,
所以
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数有且只有一个极值点,求实数
的取值范围;
(2)对于函数,
,
,若对于区间
上的任意一个
,都有
,则称函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”.已知
,
,问是否存在实数
,使得函数
是函数
,
在区间
上的一个“分界函数”?若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知直线的方程为
,其中
.
(1)求证:直线恒过定点;
(2)当变化时,求点
到直线
的距离的最大值;
(3)若直线分别与
轴、
轴的负半轴交于
两点,求
面积的最小值及此时直线
的方程.
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【题目】某商场进行有奖促销活动,顾客购物每满500元,可选择返回50元现金或参加一次抽奖,抽奖规则如下:从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球,摸到红球就可获得100元现金奖励,假设顾客抽奖的结果相互独立.
(Ⅰ)若顾客选择参加一次抽奖,求他获得100元现金奖励的概率;
(Ⅱ)某顾客已购物1500元,作为商场经理,是希望顾客直接选择返回150元现金,还是选择参加3次抽奖?说明理由;
(Ⅲ)若顾客参加10次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励?
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【题目】某校对高二年段的男生进行体检,现将高二男生的体重数据进行整理后分成6组,并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组
的人数为200.根据一般标准,高二男生体重超过
属于偏胖,低于
属于偏瘦.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求体重在内的频率,并补全频率分布直方图;
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查,则各组应分别抽取多少人?
(3)根据频率分布直方图,估计高二男生的体重的中位数与平均数.
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【题目】设是两条不同的直线,
是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则
②若
,则
③若,则
④若
,则
其中正确命题的序号是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线
,以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程:
(2)在曲线上求一点
,使点
到直线
的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣﹣(a+2)lnx,其中实数a≥0.
(1)若a=0,求函数f(x)在x∈[1,3]上的最值;
(2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性.
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