Question

如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2

2

 a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）求异面直线CD与PB所成角的大小；
（3）求二面角A-PD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明PA⊥平面ABCDE，只需证明PA⊥AB，PA⊥AE，AB∩AE=A，通过定理即可得到结论；
（2）说明∠PBE即为异面直线CD与PB所成角的大小，通过三角形即可得到结果；
（3）如图，过A作AG⊥PE于G，过G作GH⊥PD于H，连接AH，说明∠AHG为二面角A-PD-E的平面角，在Rt△AHG中，求出二面角A-PD-E的大小．

解答：解：（1）∵PA=AE=2a，PB=PE=2

2

 a
∴PA²+AB²=PB²，
∴∠PAB=90°，
即PA⊥AB
同理PA⊥AE
∵AB∩AE=A，
∴PA⊥平面ABCDE
（2）由CD∥BE，
则∠PBE即为所求角
又PB=PE=BE=2

2

 a
∴∠PBE=60°
（3）∵∠AED=90°，
∴AE⊥ED
∵PA⊥平面ABCDE，
∴PA⊥ED
∴ED⊥平面PAE
如图，过A作AG⊥PE于G，
∴DE⊥AG，
∴AG⊥平面PDE
过G作GH⊥PD于H，连接AH，
由三垂线定理得AH⊥PD
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角
在Rt△PAE中，AG=

2

 a，
在Rt△PAD中，AH=

2 5

3

a
∴在Rt△AHG中，sin∠AHG=

AG

AH

=

3 10

10

∴∠AHG=arcsin

3 10

10

∴二面角A-PD-E的大小为arcsin

3 10

10

点评：本题是中档题，考查直线与平面的垂直，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力，转化思想．