分析:(Ⅰ)S
n=
(1-a
n),当n≥2时,S
n-1=
(1-a
n-1),两式相减,得an=
-an+an-1,整理得出a
n=
a
n-1,判断出数列{a
n}为等比数列,通项公式可求.
(Ⅱ)由S
n=
(1-a
n)得S
n=
[1-(
)n],易证S
n<;
(Ⅲ)根据对数的运算法则,求得b
n=-n(1+n),
==
-,经裂项后求和即可.
解答:(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)S
n=
(1-a
n)
当n≥2时,S
n-1=
(1-a
n-1),
两式相减,得a
n=
-an+an-1,整理得出a
n=
a
n-1,
由S
1=
(1-a
1),得a
1=
------------------(2分)
∴数列{a
n}是首项a
1=
,公比为
的等比数列,
∴a
n=
×
n-1=(
)n,
---(4分)
(Ⅱ) 由S
n=
(1-a
n)得S
n=
[1-(
)n]
--(5分)
∵1-(
)n<1,
∴
[1-(
)n]
<,即S
n<;
-------------------------(8分)
(Ⅲ) 函数f(x)=log
2x,b
n=f(a
1)+f(a
2)+…+f(a
n)
=
++…+=
=log
2()1+2+…+n=-2(1+2+…+n)=-n(1+n)------------------(10分)
∵
==
-∴
+
+
+…+
=
(-1)+(-)+…+(-)=
-1=------(12分)
点评:本题是函数与不等式,数列的综合题.考查数列通项公式求解,对数的运算法则,裂项法数列求和,三者有机结合.是好题.