Question

数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．

Answer 1

（1）；（2）；（3），，．

试题分析：（1）要求数列的通项公式，已知的是，这种条件的应用一般是把用代换得，然后两式相减就可把的递推关系转化为的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有，必须另外说明与的关系；（2）时，，，那么不等式就是，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即等价于，这个二次的不等式对恒成立，变形为，然后我们分析此不等式发现，当时，不可能恒成立；时，不等式恒成立；当时，不等式变为，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，
，最后用分组求和法求出，
根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．
试题解析：（1）因为 ①
当时， ②，
①—②得，（），                     （2分）
又由，得，                    （1分）
所以，是首项为，公比为的等比数列，所以（）． （1分）
（2）当时，，，，             （1分）
由，得， （*）     （1分）
当时，时，（*）不成立；
当时，（*）等价于 （**）
时，（**）成立．
时，有，即恒成立，所以．
时，有，．时，有，．    （3分）
综上，的取值范围是．                    （1分）
（3）当时，，，    （1分）
，    （2分）
所以，当时，数列是等比数列，所以   （2分）
又因为，，成等差数列，所以，即，
解得．                             （1分）
从而，，．                     （1分）
所以，当，，时，数列为等比数列． （1分）