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已知双曲线 $数学公式$ 的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又|OA|=2|OB|， $数学公式$ 过点F的直线与双曲线右支交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）证明：B、P、N三点共线．

解：（Ⅰ）A（a，0），B $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
解（1）（2）得a=2，c=4
双曲线方程为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
B（1，0），F（4，0）
设直线l的方程为x=ty+4
$\text{[math]}$
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）
=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）
=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁-（y₁+y₂）
= $\text{[math]}$
所以向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，
即B、P、N三点共线．
分析：（Ⅰ）根据已知线 $\text{[math]}$ ，表示出A，B的坐标．根据 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ ，联立求出a与c的值，然后写出双曲线的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得出B，F的坐标，然后设出直线方程．将直线方程代入双曲线方程，设出两个交点的坐标，用设而不求韦达定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值，此时即可表示出 $\text{[math]}$ ，最后根据向量共线的定义即可判定B、P、N三点共线．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，以及双曲线的方程．根据 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ ，联立求出a与c的值是关键．第二问在第一问的基础上运用设而不求韦达定理方法求出y¹+y²，y¹•y²的值．属于中档题．

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