Question

设函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＜0）有极小值-8，其导函数f'（x）的图象过点A（-2，0），B（

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，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=mx恰有3个不同的实数解，求实数m的取值范围；
（3）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥t²-14t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）1求出导函数，利用函数的极值，即可求出a，得到f（x）的解析式；
（2）通过方程f（x）=mx恰有3个不同的实数解，转化方程为 二次函数，利用判别式求解即可得到实数m的取值范围；
（3）利用对x∈[-3，3]都有f（x）≥t²-14t恒成立，结合（1）求出函数的最小值，然后求实数t的取值范围．

解答： 解：（1）由已知可设f′(x)=3a(x+2)(x-

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)（a＜0），从而可得f（x）=ax³+2ax²-4ax
∴f(x)在(-∞，-2)，(

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，+∞)上递减，在(-2，

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)上递增
∴当x=-2时，f（x）_极小值=f（-2）=8a=-8⇒a=-1∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）由（1）得：方程f（x）=mx?x（x²+2x+m-4）=0恰有3个不同的实数解，
即x²+2x+m-4=0有两个非零解
∴

△=4-4(m-4)＞0 m-4≠0

?m∈(-∞，4)∪(4，5)
（3）当x∈[-3，3]时，由（ I）得f（x）在[-3，-2]，[

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，3]上递减，在在[-2，

2

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]上递增
又f（-2）=-8，f（3）=-33
∴x∈[-3，3]时，不等式f（x）≥t²-14t恒成立，等价于t²-14t≤-33
∴t∈[3，11]

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性极值，闭区间是的最值，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．