Question

设定义域为R的函数f（x）=

a，(x=1) ( 1 2 )|x-1|+1，(x≠1)

，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则符合题意的a的取值范围是

1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

．

Answer 1

分析：程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解x，即要求f（x）=常数有3个不同的f（x），根据题意，先做出函数f（x）的图象，结合图象可知，只有当f（x）=a时，有3个根，再结合方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有2个不同的实数解，可求

解答：解：方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，
解：∵题中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5个不同实数解，
∴即要求对应于f（x）等于某个常数有3个不同实数解，
∴故先根据题意作出f（x）的简图：
由图可知，只有当f（x）=a时，它有三个根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根据2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有两个不等实根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

②
结合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故答案为：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．