【题目】我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线，事实上，多项式函数的图像都是如此.
（1）设
，且
，若还有
，求证：
；
（2）设一个多项式函数有奇次项
（
），求证：总能通过只调整的系数，使得调整后的多项式一定有零点；
（3）现有未知数为
的多项式方程
（其中实数
待定），甲、乙两人进行一个游戏：由甲开始交替确定
中的一个数（每次只能去确定剩余还未定的数），当甲确定最后一个数后，若方程由实数解，则乙胜，反之甲胜，问：乙有必胜的策略吗？若有，请给出策略并证明，若无，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）乙有必胜的策略，证明见解析
【解析】
（1）对
分两种情况
和
讨论证明；（2）记此多项式函数为
,
,
为
项系数，分析得到
，再利用零点存在性定理证明可得；（3）乙有必胜的策略. 乙前4次尽量去定偶次项系数，就能保证甲第5次只能去定一个奇数项的系数.再证明得解.
（1）若，则
；
若，则
.
综合得
得证.
(2)记此多项式函数为,,为项系数，
时，
，
同理：
，
故由零点存在定理可知调整后的多项式函数一定在(-1,1)上存在零点.
（3）乙有必胜的策略.
因待定系数的项共有5个奇数项，而在乙最后一次定数前，甲只定了4个系数，故乙前4次尽量去定偶次项系数，就能保证甲第5次只能去定一个奇数项的系数.
设甲第5次确定了奇数项为
的系数为
设乙第4次确定
项的系数为，并设此时多项式函数为
，则有
由（1）式乘
再加（2）式可得
，
故当乙在第四轮确定的系数
时，有
，结合第（1）小题结论即知
，故由零点存在性定理即得乙的上述策略是必胜的.
状元坊全程突破导练测系列答案
直通贵州名校周测月考直通名校系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得
＝80， 
＝20， 
＝184， 
＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中， 
，a＝
－b
，其中
， 
为样本平均值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆
的圆心的坐标为
半径为
,直线
的参数方程为
为参数)
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;
（Ⅱ）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
（
， 
为参数）.以坐标原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）当
时，求曲线
上的点到直线
的距离的最大值；
（2）若曲线
上的所有点都在直线
的下方，求实数
的取值范围.
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【题目】随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在
市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：
（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为
市使用共享单车情况与年龄有关？（Ⅱ）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
（1）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；
（2）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式： 
，其中
.
参考数据：
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【题目】已知函数
为奇函数．
（1）求a的值，并证明
是R上的增函数；
（2）若关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0的解集非空，求实数k的取值范围．
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【题目】下面有五个命题：
①函数
的最小正周期是
；
②终边在y轴上的角的集合是
；
③在同一坐标系中，函数
的图象和函数
的图象有一个公共点；
④把函数
；
⑤在
中，若
，则是等腰三角形
；
其中真命题的序号是（ ）
A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4）
C．（3）（4）（5） D．（1）（4）（5）
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中， 
， 
，以
为直径的圆记为圆
，圆
过原点
的切线记为
，若以原点
为极点， 
轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆
的极坐标方程；
（2）若过点
，且与直线
垂直的直线
与圆
交于
， 
两点，求
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知椭圆
的长轴长为4，离心率为
，过点
的直线l交椭圆于
两点，与x轴交于P点，点
关于
轴的对称点为
，直线
交轴于
点.
（1）求椭圆方程；
（2）求证：
为定值.
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