Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，∠DAB=90°，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M为PD中点．
（Ⅰ） 求证：MC∥平面PAB；
（Ⅱ）在棱PD上找一点Q，使二面角Q﹣AC﹣D的正切值为．

Answer 1

解：（1）取PA的中点E，连接BE、EM，
则EM与BC平行且相等，
∴四边形BCME是平行四边形．
∴MC∥BE，
又MC面PAB，BE面PAB，
∴MC∥平面PAB
（2）如图过Q作QF∥PA交AD于F，
∴QF⊥平面ABCD．
作FH⊥AC，H为垂足．
连接QH
∴∠QHF是二面角Q﹣AC﹣D的平面角．
设AF=x，
∴AH=FH=x，
FD=2﹣x．
又=，
∴QF=，
在Rt△QFH中，tan∠QHF===，
∴x=1．当Q为棱PD中点时，二面角Q﹣AC﹣D的正切值为．