Question

设直线y=ax+b与双曲线3x²-y²=1交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点P（a，b）的轨迹方程．

Answer 1

分析：将直线方程与双曲线方程消去y，可得（a²-3）x²+2abx+b²+1=0，利用根的判别式算出a²＜3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系可得x₁+x₂=

2ab

3-a2

，x₁•x₂=

b2+1

a2-3

．根据直径所对的圆周角为直角，结合题意得到

OA

⊥

OB

，所以x₁x₂+y₁y₂=0，代入前面的等式化为关于a、b的等式，化简得到a²-2b²=-1．由此即可得到点P（a，b）满足的轨迹方程．

解答：解：由

y=ax+b 3x2-y2=1

，
消去y得：（a²-3）x²+2abx+b²+1=0．
∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴

a2-3≠0 △＞0

，解得a²＜3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=

2ab

3-a2

，x₁•x₂=

b2+1

a2-3

．
∴y₁•y₂=（ax₁+b）（ax₂+b）=a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²，
又∵以AB为直径的圆过原点，
∴

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，
由此可得x₁x₂+[a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²]=0，
即（1+a²）x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²=0，
可得：（1+a²）•

b2+1

a2-3

-ab•

2ab

3-a2

+b²=0，化简得：a²-2b²=-1．
因此，点P（a，b）的轨迹方程为x²-2y²=-1，即2y²-x²=1（x²＜3）．

点评：本题已知直线与双曲线相交得到弦AB，以AB为直径的圆过原点，求点P（a，b）满足的轨迹方程．着重考查了圆的性质、双曲线的标准方程与简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，属于中档题．