设函数f(x)在[a.b]上连续.且f＞b.证明至少存在一点ξ∈=ξ．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．设函数f（x）在[a，b]上连续，且f（a）＜a，f（b）＞b，证明至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=ξ．

分析作辅助函数F（x）=f（x）-x，通过零点的判定定理证明即可．

解答证明：作辅助函数F（x）=f（x）-x，显然在[a，b]上连续，则
F（a）=f（a）-a，因为f（a）＜a，所以f（a）-a＜0，
又F（b）=f（b）-b，因为f（b）＞b，所以f（b）-b＞0
即F（a）F（b）＜0
由零点定理，知
方程f（x）=x 在（a，b ）内至少有一实根 ξ，使f（ξ）=ξ．

点评本题考查了零点的判定定理，作辅助函数F（x）=f（x）-x是解题的关键，本题是一道基础题．

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