Question

20．在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（　　）

• A． $y=x+\frac{4}{x}$
• B． $y=lg（x+1）+\frac{1}{lg（x+1）}$
• C． $y=\sqrt{{x^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$
• D． $y=sinx+\frac{1}{sinx}，（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$

Answer 1

分析 利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．

解答 解：当x取正数时，
对于A．x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时取等号，最小值为4．
对于B．lg（x+1）＞0，∴lg（x+1）+$\frac{1}{lg（x+1）}$≥2$\sqrt{lg（x+1）•\frac{1}{lg（x+1）}}$=2，当且仅当x=9时取等号，最小值为2．　
对于C.$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥$2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+1}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}$=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值不为2．
对于D．∵$0＜x＜\frac{π}{2}$，∴sinx∈（0，1），sinx+$\frac{1}{sinx}$＞2$\sqrt{sinx•\frac{1}{sinx}}$=2，最小值不为2．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．