Question

由原点O向三次曲线y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切线，切于不同于点O的点P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲线的切线，切于不同于P₁的点P₂（x₂，y₂），如此继续地作下去，…，得到点列{P_n（x_n，y_n）}，试回答下列问题：
（1）求x₁；
（2）求x_n与x_n+1的关系；
（3）若a＞0，求证：当n为正偶数时，x_n＜a；当n为正奇数时，x_n＞a．

Answer 1

分析：（1）向三次曲线y=x³-3ax²+bx （a≠0），对其进行求导，求出切线l₁的方程，根据其过点（0，0），可以求出x₁；
（2）根据导数与直线的斜率的关系，再求点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切线l_n+1的方程，这个切线方程过点P_n（x_n，y_n），代入可得x_n与x_n+1的关系；
（3）根据（2）已知的x_n与x_n+1的关系，递推关系，将其凑为等比数列，其实n分为奇偶，从而进行证明；

解答：解：（1）由y=x³-3ax²+bx…①，得y′=3x²-6ax+b
过曲线①上的点P（x₁，y₁）的切线l₁的方程是
y-（

x

3 1

-3a

x

2 1

+bx₁）=（3

x

2 1

-6ax₁+b）（x-x₁），（x₁≠0）
由它过原点，有-

x

3 1

+3a

x

3 1

-bx₁=-x₁（3

x

2 1

-6ax₁+b），
2

x

3 1

=3a

x

2 1

（x₁≠0），∴x₁=

3a

2

；
（2）过曲线①上点P_n+1（x_n+1，y_n+1）的切线l_n+1的方程是，
y-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x-x_n+1），
由l_n+1过曲线①上点P_n（x_n，y_n），有

x

3 n

-3a

x

2 n

+bx_n-（

x

3 n+1

-3a

x

2 n+1

+bx_n+1）=（3

x

2 n+1

-6ax_n+1+b）（x_n-x_n+1），
∵x_n-x_n+1≠0，以x_n-x_n+1除上式，得

x

2 n

+x_nx_n+1+

x

2 n+1

-3a（x_n+x_n+1）+b=3x²_n+1-6ax_n+1+b，

x

2 n

+x_nx_n+1-2

x

2 n+1

-3a（x_n-x_n+1）=0，以x_n-x_n+1除之，得
x_n+2x_n+1-3a=0，
（3）由（2）得xn+1=-

1

2

xn+

3

2

a，
∴xn+1-a=-

1

2

(xn-a)．
故数列{x _n-a}是以x ₁-a=

a

2

为首项，公比为-

1

2

的等比数列，
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．
∵a＞0，
∴当n为正偶数时，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1-(

1

2

)n]a＜a；
当n为正奇数时，xn=[1-(-

1

2

)n]a=[1+(

1

2

)n]a＞a．

点评：此题主要考查数列与函数的综合，难度有些大，还考查导数与直线斜率的关系，还考查分类讨论的思想，考查的知识点比较多，是一道难题；