Question

（2013•湖南模拟）设圆C：（x-3）²+（y-5）²=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为

y=2x-1或y=-2x+11

．

Answer 1

分析：由题意可设直线L的方程为y-5=k（x-3），P（0，5-3k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y-5=k(x-3) (x-3)2+(y-5)2=5

，然后由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A为PB的中点可得x₂=2x₁，联立可求x₁，x₂，进而可求k，即可求解直线方程

解答：解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在
可设直线L的方程为y-5=k（x-3）
令x=0可得y=5-3k即P（0，5-3k），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y-5=k(x-3) (x-3)2+(y-5)2=5

消去y可得（1+k²）x²-6（1+k²）x+9k²+4=0
由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=6，x₁x₂=

9k2+4

1+k2

①
∵A为PB的中点
∴

0+x2

2

=x1即x₂=2x₁②
把②代入①可得x₂=4，x₁=2，x₁x₂=

9k2+4

1+k2

=8
∴k=±2
∴直线l的方程为y-5=±2（x-3）即y=2x-1或y=-2x+11
故答案为：y=2x-1或y=-2x+11

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．