Question

直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
(2)在A₁B₁上是否存在一点P，使得DP与平面ACB₁平行？证明你的结论．

Answer 1

(1)由BB₁⊥平面ABCD，得到BB₁⊥AC.
又∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，
得到∠CAB＝45°，BC＝， BC⊥AC.
平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C.
(2)存在点P，P为A₁B₁的中点．

试题分析：(1)证明：直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC.
又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC.
又BB₁∩BC＝B，BB₁?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C.
又∵AC?平面ACB₁，∴平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C.（6分）
(2)存在点P，P为A₁B₁的中点．
要使DP与平面ACB₁平行，只要DP∥B₁C即可因为A₁B₁∥DC，所以四边形DCB₁P为平行四边形，所以B₁P＝DC＝A₁B₁＝1，所以P为A₁B₁的中点．即当P为A₁B₁的中点时，DP与平面BCB₁和平面ACB₁都平行．（12分）
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，若利用向量则可简化证明过程。（2）是一道探索性问题，注意探寻“特殊点”。