Question

（2003•崇文区一模）过点（0，2）的直线l与抛物线y²=-4（x+2）仅有一个公共点，则满足条件的直线l共有

3

条．

Answer 1

分析：由题意可得，直线的斜率应该存在．设直线方程为 y-2=k（x-0），代入抛物线方程由△=0，解得 k有2个值，故和抛物线相切的直线有2条．当k=0时，直线和x轴平行，也满足直线l与抛物线仅有一个公共点，从而得出结论．

解答：解：由题意可得，直线的斜率应该存在．
设直线的斜率等于k，直线方程为 y-2=k（x-0），代入抛物线y²=-4（x+2），
可得 k²x²+（4k+4）x+8=0．
若直线和抛物线相切，则有△=（4k+4）²-32k²=0，解得 k=1±

3

，故和抛物线相切的直线有2条．
当k=0时，直线和x轴平行，也满足直线l与抛物线仅有一个公共点，
故满足条件的直线共有3条，
故答案为 3．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，直线和与抛物线相切的条件，体现了分类讨论的数学思想，求出满足条件的直线的斜率，是解题的关键，属于中档题．